Suriekcja, iniekcja, bijekcja

Definicja 1: Suriekcja czyli funkcja „na”

Mówimy, że $ f:X\to Y $ jest suriekcją, (czyli funkcją „na”) wtedy i tylko wtedy, gdy jej zbiór wartości jest równy zbiorowi końcowemu $ Y $.

Zapisujemy wówczas $ f:X\xrightarrow{na} Y $ co odczytujemy: funkcja $ f $ prowadzi ze zbioru $ X $na zbiór $ Y $.

Uwaga 1:

Wiemy, że geometrycznie zbiór wartości funkcji jest rzutem prostopadłym wykresu na oś $ 0\vec y $. Stąd $ f:X\to Y $ jest suriekcją, gdy rzut jej wykresu na oś $ 0\vec y $ pokrywa się ze zbiorem $ Y $. ${OPENAGHMATHJAX()}f_1:X\xrightarrow{na} Y{OPENAGHMATHJAX} suriekcja$

Rysunek 1: $ f_1:X\xrightarrow{na} Y $ suriekcja

${OPENAGHMATHJAX()}f_2:X\to Y{OPENAGHMATHJAX} nie jest suriekcją$

Rysunek 2: $ f_2:X\to Y $ nie jest suriekcją

Przykład 1:

Niech $ X=R $, $ Y=(-\infty,3] $. Zbadamy, czy $ f:X\to Y $, $ f(x)=2-\vert x\vert $ jest suriekcją.
Rozwiązanie
Szkicujemy wykres $ f $.

Wykres funkcji {OPENAGHMATHJAX()}f{OPENAGHMATHJAX}

Rysunek 3: Wykres funkcji $ f $

Z wykresu odczytujemy, że zbiór wartości funkcji $ f $ (rzut jej wykresu na oś $ 0\vec y $) to przedział $ (-\infty,2] $, który jest silnie zawarty w zbiorze $ (-\infty,3] $, zatem $ f $ nie jest suriekcją.

Zadanie 1:

Treść zadania:

Niech $ X=R $, $ Y=(0,\infty) $. Zbadamy czy $ f:X\to Y $, $ f(x)=3^{x+5} $ jest suriekcją.

Informacja dodatkowa 1:

Własność suriektywności zależy od tego, jaki zbiór przyjmiemy za zbiór końcowy $ Y $. Gdybyśmy w przykładzie 1 jako $ Y $ wzięli przedział $ (-\infty,2] $ funkcja byłaby suriekcją. W szczególności: każda funkcja może być traktowana jako suriekcja na swój zbiór wartości.

Definicja 2: Funkcja różnowartościowa, iniekcja

Mówimy, że $ f:X\to Y $ jest iniekcją (funkcją różnowartościową) wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdych elementów $ x_1,x_2\in X $ stąd, że $ x_1\neq x_2 $ wynika, że $ f(x_1)\neq f(x_2) $ Interpretacja geometryczna różnowartościowości.

Funkcja $ f $ jest różnowartościowa gdy dowolna prosta pozioma o równaniu $ y=\textrm{const} $ przecina wykres $ f $ w co najwyżej jednym punkcie.

$Funkcje różnowartościowe. Każda prosta pozioma {OPENAGHMATHJAX()}y=\textrm{const}{OPENAGHMATHJAX} przecina wykres w co najwyżej jednym punkcie$

Rysunek 4: Funkcje różnowartościowe. Każda prosta pozioma $ y=\textrm{const} $ przecina wykres w co najwyżej jednym punkcie

Rysunek 5: Funkcje nieróżnowartościowe. Istnieją proste poziome przecinające wykres w kilku punktach

Przykład 2:

Funkcje logarytmiczna, wykładnicza, funkcja potęgowa postaci $ y=x^n $ dla $ n $ nieparzystych, są różnowartościowe. Nie są różnowartościowe funkcje trygonometryczne i funkcje potęgowe postaci $ y=x^n $ dla $ n $-parzystych.

Twierdzenie 1: Warunek równoważny różnowartościowości

Funkcja $ f:X\to Y $ jest funkcją różnowartościową wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdych dwóch elementów $ x_1,x_2\in X $ zachodzi warunek: stąd, że $ f(x_1)=f(x_2) $ wynika, że $ x_1=x_2 $.

Definicja 3: Funkcja różnowartościowa na zbiorze

Mówimy, że funkcja $ f $ jest różnowartościowa w zbiorze $ A $ zawartym w dziedzinie wtedy i tylko wtedy, gdy jej restrykcja do zbioru $ A $ jest funkcja różnowartościową.

Funkcja nieróżnowartościowa, która jest różnowartościowa na zbiorze {OPENAGHMATHJAX()}A{OPENAGHMATHJAX}

Rysunek 6: Funkcja nieróżnowartościowa, która jest różnowartościowa na zbiorze $ A $

Przykład 3:

Pokażemy, że funkcja $ y=3^{2x+5} $ jest różnowartościowa.

Rozwiązanie
Skorzystamy z twierdzenia Warunek równoważny różnowartościowości. Dziedziną naturalną danej funkcji jest zbiór liczb rzeczywistych. Obierzmy dwie takie liczby $ x_1,x_2\in\mathbb R $ i załóżmy, że $ f(x_1)=f(x_2) $. Należy pokazać, że $ x_1=x_2 $ .
Mamy $ f(x_1)=3^{2x_1+5} $, $ f(x_2)=3^{2x_2+5} $.
Założona równość $ f(x_1)=f(x_2) $ przybiera tu postać $ 3^{2x_1+5}=3^{2x_2+5} $.
Logarytmując obie strony (przy podstawie 3) otrzymujemy $ \log_33^{2x_1+5}=\log_33^{2x_2+5} $.
Korzystając z własności logarytmu $ \log_aa^x=x $ dla $ a>0 $ i $ a\neq 1 $ otrzymujemy
$ 2x_1+5=2x_2+5 $,
$ 2x_1=2x_2 $,

$ x_1=x_2 $.

Definicja 4: Bijekcja

Funkcję $ f:X\to Y $nazywamy bijekcją wtedy i tylko wtedy, gdy jest funkcją różnowartościową oraz „na”, czyli jest zarówno iniekcją jak i suriekcją jednocześnie.

Matematyka